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北京市101中學2010-2011學年上學期高二年級期中考試數學試卷(文科)

北京市 101 中學 2010-2011 學年上學期高二年級期中考試數學試卷(文科)
一、選擇題:本大題共 8 小題,共 40 分。 1. 某籃球隊甲、乙兩名運動員練習罰球,每人練習 10 組,每組罰球 40 個。命中個數的莖葉圖如下。則 下面結論中錯誤的一個是( ) A. 甲的極差是 29 B. 乙的眾數是 21 C. 甲罰球命中率比乙高 D. 甲的中位數是 24

2. 已知命題 p : ?x ? R , | x | ? 0 ,那么命題 ? p 為 A. ?x ? R , | x | ? 0 C. ?x ? R , | x | ? 0 A. p 假 4. 有下列四個命題: ①“若 x ? y ? 0 ,則 x , y 互為相反數”的逆命題; ②“全等三角形的面積相等”的否命題; ③“若 q ? 1 ,則 x ? 2x ? q ? 0 有實根”的逆否命題;
2





B. ?x ? R , | x | ? 0 D. ?x ? R , | x | ? 0 ( C. ) B.

3. 若命題“ p ? q ”為假,且“ ? p ”為假,則

q假

q真

D. 不能判斷 q 的真假

④“不等邊三角形的三個內角相等”的逆命題;其中真命題為 A. ①②
2



) )

B. ②③
2

C. ①③

D. ③④ D. 2 x ? y ? 1 ? 0

5. 已知圓方程為 x ? y ? 2x ? 6 y ? 8 ? 0 ,那么下列直線中經過圓心的直線方程為( A. 2 x ? y ? 1 ? 0 6. 給定下列四個命題: ①若一個平面內的兩條直線與另一個平面都平行,那么這兩個平面相互平行; ②若一條直線和兩個平行平面中的一個平面垂直,那么這條直線也和另一個平面垂直; B. 2 x ? y ? 1 ? 0 C. 2 x ? y ? 1 ? 0

③若一條直線和兩個互相垂直平面中的一個平面垂直,那么這條直線一定平行于另一個平面; ④若兩個平面垂直,那么一個平面內與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直。 其中,為真命題的是 A. ①和②
2 2

( B. ②和③ B. ?0,2? C. ③和④ C. ?1,??? D. ②和④ (

) )

7. 如果 x ? ky ? 2 表示焦點在 y 軸上的橢圓,那么實數 k 的取值范圍是 A. ?0,???

D. ?0,1? ) D.

8. 設有一個正方形網格,每個小正方形的邊長為 4,用直徑等于 1 的硬幣投擲到此網格上,硬幣下落后 與網格線沒有公共點的概率為 A. (

1 4

B.

3 4

C.

9 16

7 16

二、填空題:本大題共 6 小題,共 30 分。 9. 從 1,2,3 這三個數中,不放回地任意取兩個數,兩個數都是奇數的概率是 10. 執行如圖所示的程序框圖,輸出的結果 S ? _________。 。

11. 為了了解某學校學生的身體發育情況, 抽查了該校 100 名高中男生的體重情況, 根據所得數據畫出樣 本的頻率分布直方圖如圖所示。根據此圖,估計該校 2000 名高中男生中體重大于 70 公斤的人數大約 為 。

12. 設圓 x ? y ? 4x ? 5 ? 0 的弦 AB 的中點為 P(3,1) ,則直線 AB 的方程是
2 2



13. 有下述說法: ① a ? b ? 0 是 a ? b 的充要條件。 ②a ? b ? 0是
2 2

1 1 3 3 ? 的充要條件。 ③a ? b是a ? b 的 a b

充要條件。則其中正確的說法是
2 2



14.橢圓

1 x y ? ? 1 的離心率為 ,則 k 的值為_____________。 2 k ?8 9

三、解答題:本大題共 5 小題,共 50 分。 15. 某班 50 名學生在一次數學測試中,成績全部介于 50 與 100 之間,將測試結果按如下方式分成五組: 第一組 [50,60) ,第二組 [60,70) , ,第五組 [90,100] 。下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖。 ??

(I)若成績大于或等于 60 且小于 80,認為良好,求該班在這次數學測試中成績良好的人數; (II)從測試成績在 [50,60) ? [90,100] 內的所有學生中隨機抽取兩名,設其測試成績分別為 m 、 n , 求事件“ | m ? n |? 10 ”的概率。
2 16. 已知命題 p : 方程 x ? mx ? 1 ? 0 有兩個不等的負實數根;命題 q : 方程 4x2 ? 4 ? m ? 2? x ?1 ? 0 無實

數根.若“ p 或 q ”為真命題,“ p 且 q ”為假命題,求 m 的取值范圍。 17. 如圖,三棱錐 A—BPC 中,AP⊥PC,AC⊥BC,M 為 AB 中點,D 為 PB 中點,且△PMB 為正三角形。 (Ⅰ)求證:DM//平面 APC; (Ⅱ)求證:平面 ABC⊥平面 APC; (Ⅲ)若 BC=4,AB=20,求三棱錐 D—BCM 的體積。

18. 已知以點 A(-1,2)為圓心的圓與直線 l1 : x ? 2 y ? 7 ? 0 相切。過點 B(-2,0)的動直線 l 與圓 A 相交于 M 、 N 兩點, Q 是 MN 的中點。 (I)求圓 A 的方程; (II)當 MN ? 2 19 時,求直線 l 的方程。

19. 已知橢圓 C 的中心在原點,一個焦點 F (?2, 0) ,且離心率是 (Ⅰ)求橢圓 C 的方程;

1 。 2

(Ⅱ)設點 M (m,0) 在橢圓 C 的長軸上,點 P 是橢圓上任意一點。當 | MP | 最小時,點 P 恰好落在橢 圓的右頂點,求實數 m 的取值范圍。

【試題答案】 一、選擇題:本大題共 8 小題,共 40 分。 題號 答案 1 D 2 C 3 B 4 C 5 C 6 B 7 D 8 C

二、填空題:本大題共 5 小題,共 30 分。 9.

1 ; 3

10. 15; 13. ③;

11. 600; 14. 3 或 ?

12. x ? y ? 2 ? 0 ;

5 。 4

三、解答題:本大題共 6 小題,共 50 分。 15. 解: (I)由直方圖知,成績在 [60,80) 內的人數為:

50 ?10 ? (0.018 ? 0.040) ? 29 .
所以該班在這次數學測試中成績合格的有 29 人..………………….4 分 (II)由直方圖知,成績在 [50,60) 內的人數為 50 ?10 ? 0.004 ? 2 ,設為 x 、 y ,5 分 成績在 [90,100] 內的人數為 50 ?10 ? 0.006 ? 3 ,設為 a、b、c, ……………..6 分 若 m, n ? [50, 60) 時,只有 xy 1 種情況,………………….7 分 若 m, n ?[90,100] 時,有 ab, bc, ac 3 種情況,……………..8 分 若 m , n 分別在 [50,60) 和 [90,100] 內時,有

x y

a xa ya

b
xb yb

c xc yc

共有 6 種情況.所以基本事件總數為 10 種,………………………….9 分 事件“ | m ? n |? 10 ”所包含的基本事件個數有 6 種

6 3 ? ………………………………………….10 分 10 5 . ?? ? m 2 ? 4 ? 0 16. 解:由 p 得: ? 則 m>2。 , m ? 0 ?
∴P( | m ? n |? 10 )= 由 q 知:Δ′=16(m-2)2-16=16(m2-4m+3)<0,則 1<m<3。

∵“p 或 q”為真, “p 且 q”為假,∴p 為真,q 為假,或 p 為假,q 為真。 則?

?m ? 2 ?m ? 2 或? , 解得 m≥3 或 1<m≤2。 ?m ? 1或m ? 3 ?1 ? m ? 3
又∴MD ? 平面 ABC

17. (Ⅰ)證明:∵M 為 AB 中點,D 為 PB 中點, ∴MD//AP, ∴DM//平面 APC ……………3 分 (Ⅱ)證明:∵△PMB 為正三角形,且 D 為 PB 中點。 ∴MD⊥PB 又由(Ⅰ)知 MD//AP,∴AP⊥PB 又已知 AP⊥PC ∴AP⊥BC, ∴AP⊥平面 PBC, 又∵AC⊥BC ∴平面 ABC⊥平面 APC ……………7 分

∴BC⊥平面 APC, (Ⅲ)解:∵AB=20 ∴MB=10 ∴ S ?BDC ? ∴PB=10

又 BC=4, PC ? 100? 16 ? 84 ? 2 21.

1 1 1 S ?PBC ? PC ? BC ? ? 4 ? 2 21 ? 2 21. 2 4 4 1 1 20 2 ? 10 2 ? 5 3. 又 MD ? AP ? 2 2 1 1 ∴VD-BCM=VM-BCD= S ?BDC ? DM ? ? 2 21 ? 5 3 ? 10 7 ………………10 分 3 3 R 18. 解: (I)設圓 A 的半徑為 ,由于圓 A 與直線 l1 : x ? 2 y ? 7 ? 0 相切,

?R ?

| ?1 ? 4 ? 7 | ? 2 5 ……………………………….3 分 5

? 圓 A 的方程為 ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 20 ……………………………………….4 分

(II)①當直線 l 與 x 軸垂直時, 易知 x ? ?2 符合題意……………6 分 ②當直線 l 與 x 軸不垂直時, 設直線 l 的方程為 y ? k ( x ? 2) ,即 kx ? y ? 2k ? 0 ,

連結 AQ ,則 AQ ? MN ∵ | MN |? 2 19 ,∴ | AQ |? 20 ?19 ? 1,………………………………………8 分 則由 | AQ |?

| k ?2| k ?1
2

? 1 ,得 k ?

3 , ∴直線 l : 3x ? 4 y ? 6 ? 0 。 4

故直線 l 的方程為 x ? ?2 或 3x ? 4 y ? 6 ? 0 .………………………………………10 分 19. 解: (Ⅰ)設橢圓 C 的方程為

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 。 a 2 b2

?a 2 ? b 2 ? c 2 , ? ? 由題意 ? a : b ? 2 : 3, ?c ? 2. ? ?
解得 a ? 16 , b ? 12
2 2

……………………………………3 分

所以橢圓 C 的方程為

x2 y2 ? ? 1 。……………………………………4 分 16 12 x2 y2 ? ? 1 ,故 ? 4 ? x ? 4 。 (Ⅱ)設 P ( x, y ) 為橢圓上的動點,由于橢圓方程為 16 12
因為 MP ? ( x ? m, y) , 所以 | MP | 2 ? ( x ? m) 2 ? y 2 ? ( x ? m) 2 ? 12 ? (1 ?

x2 ) 16

?

1 2 1 x ? 2mx ? m 2 ? 12 ? ( x ? 4m) 2 ? 12 ? 3m 2 . …………8 分 4 4

因為當 | MP | 最小時,點 P 恰好落在橢圓的右頂點, 即當 x ? 4 時, | MP | 2 取得最小值. 而 x ?? ?4, 4? , 故有 4m ? 4 ,解得 m ? 1 。 又點 M 在橢圓的長軸上,即 ? 4 ? m ? 4 。 故實數 m 的取值范圍是 m ? [1,4] 。 ………………………………………10 分


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