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機器人關節間隙誤差分析_圖文

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第 3 卷 第 4期  9
200 年 4 月      3











報 

V19 o  o3 . N . 4
A r p.    2  3  0   0 

C! N ESE J HI   OURN AL    ECHANI 0F M CAL  ENGI NEERI NG 

機 器人關節 間隙誤差分析 
宋 月娥 吳 林 戴 明  
哈爾濱  100) 50 1  ( 哈爾濱 工 業大 學現 代焊接 生產 技術 國家重 點實 驗室

摘要 :對 關節間隙變量采用二維矢 量表 示法 ,分 析了機器人關節 間隙對機器人末端位 置重復精度 的影 響。假 設關  節間隙隨機性為某種分布 ,根據概率論建立 了機器人末端點概率密度 函數 ,從而得到機器人末端 的誤差分布 函數。   利用該方法對 R D4 1 自由度 弧焊機器 人關節 間隙誤 差進 行了分析 ,研 究了關節 間隙對空間機器人末端位置  HJ -   6 重復精度 的不確 定性影響情況 ,得到 了關節 間隙誤差 與機器人 末端位置重復精度 的約束關系 ,為機器人機 構設計 
和 機 器 人 精 度 分 析提 供 了 理 論 依 據 。  

關鍵詞 :機器人

關節間隙

重復精度 

中圖分類號 :T 1  H1 5

可 以采用 一個 二維矢 量  來 描述 該 間 隙。該矢 

0 前 言 
影響 機 器人 末端 位 姿誤 差 的 因素很 多 [,其 中  1 1 關 節 間隙 的影 響是不 可 忽略 的 。關 節 間 隙對 機器 人  末 端 位 姿 誤 差 的影 響雖 然有 人 進 行 過研 究【   ,  ,但  是 忽略 了關節 間隙在 運動 過程 中 的隨機 性 問題 ,將  其 作為機 器 人桿件 幾 何參 數誤 差處 理 。事實 上 ,由  于 關節 間 隙在運 動過 程 中 的隨機性 決定 了其對 機 器  人 精 度 的影 響具 有 不確 定 性【,因此 不 能通 過標 定  鍆 來 解 決 。為 此 ,基 于概率 論 ,通 過對 關節 間隙 建模 ,   建立 機器 人末 端 點概率 密 度 函數 ,并 以 R D 一 l HJ 4   6 自由度 空 間機器 人 為例 ,定 性地 分析 了關節 間隙  對機 器人 末端 位 置重 復精度 的影 響情 況 。  

量位 于垂 直 于關節 轉軸 的平 面 上 ,矢 量 方 向為軸 孔 
中心指 向軸 中心 。  

為 了描 述機 器人 關節 間 隙隨機 性 ,首 先需要 根  據 機器 人操 作條 件建 立關 節 間 隙變 量 的概 率密度 函 

數。對二維矢量  ,采用笛卡爾坐標系描述其概率  密度 函數 。坐 標 系原 點設在 間 隙 圓的圓 心 ,設密 度  函數形 式為  ( y)  , ,其 中 i為機 器人 關節 序號 。  
另 外 ,根據 關節 間 隙的 隨機特 點 ,假定 其 分布為 正  態 分布 ,于是得 到其 密度 函數 形式 如下 

1 關節 間隙變量 建模 


般 來講 ,機 器人 由若干連 桿 用轉動 副或 移動 

副連 接 而 成 。這 些 轉 動 副 和 移 動 副 即 為機 器 人 關  節 。 由于制造 安裝 誤差 及 其他 一些 原 因,機器 人機 
構各 關 節 的軸 與 軸孔 之 間必然 有 間隙存 在 。因此 ,   在 關節 力和 關節 力矩 作用 下 ,軸 在軸孔 中必然會 產 

2 平 面 機 器 人 關 節 間 隙誤 差 分析 
21 二連桿機器人末端點密度函數  .
圖 2為兩 連桿 機器 人 示意 圖 。圖 中 口、口 為連      桿 的長 度 矢量 ,s、s 為 關節 間 隙矢 量 , 、 0   2   2為  關節角 ,   為 無 關 節 間 隙情 況 下 機 器 人 末 端 點位 

生偏 斜 和位 移 ,如 圖 1 示 。 所  

圖 1 關節間隙矢量表 示法 

置 , 為考慮關節間隙情況下機器人末端點位置。 P   因此從 圖 2可 以得 到下面 的 關系式 
)  +  +  + 2 印 +, P 口l 2 l    , p


。 p 

設兩 個 平 行坐 標 系 P  Y 0  、 E E  ,原 點 分  xY
國家 自然 科學 基金 資助 項 I(9 3 10 。2 0 10  ̄ 5 65 6) 0 125收 到初稿  I 2 00 2 收 到修 改 稿  o2 9 5

別位 于關 節 間隙矢 量 的起 點,如 圖 3所示 。矢 量 

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1  2











報 

第3 9卷 第 4期 

的端 點 E 在坐 標 系  y) 2,在 坐標 系 P  0
有 

中的坐 標為  , )   ;矢 

((— 1 +  Y) 0 ) 、    ) (— 1 /    一 .  5
22 二連桿 機 器人末 端 點 的分 布 函數  .
已經 得 到 了末 端 點 P 的密度 分 布 函數 ,那 么 

量 : 的端 點 尸 在坐 標 系 E e  中的坐標 表示 為 z xy ,   P中的坐 標 用(, 表 示 ,因此  0 ) c  

就 可 以很 容易地 對 機器 人 的重 復精度 作 出評 價 。假 
X X- 2 - lx  = I
y y+ 2 =1   Y

() 3 
() 4 

定關 節 間隙 引起 的平面 機器 人 末端 點誤 差分 布 為 圓  域 分 布 ,那 么機 器 人 末 端 點 的誤 差 分 布 函數  可 
以得到 

J、 廠 ,dy ≤≤   ( J=  yx  0 fⅣ 7 『   )d )  
式 中  卜 _ 誤 差分 布 圓的半 徑  Ⅳ _ 機器 人關 節數 目  

然 后便 可 以 利 用 式() 算 關 節 間 隙對 平 面 兩  7計

連 桿機器人末端位置重復精度 的影 響及其概率 分  布 。 該方 法 同樣 也 適用 于 二 維 多 關 節( >2) 器  N 機
人 。但 是對 于多 自由度空 間機 器人 ,需 要作 進一 步 
圖 2 平 面 兩 連 桿 機 器 人 關 節 間 隙 示 意 圖 

的研 究 。下 面 以 R I — 1 HJ 4   ) 6自由度機 器 人為研 究  對 象 ,進 行空 間機器 人 關節 間 隙對機 器人 精度 影 響  的不確 定性 分 析 。  

3 R J4 1   H D — 機器人關節間隙誤差分析 
圖 4為 R I — 1機器 人 關節示 意 圖 。從 圖 4 HJ 4 )   可 以看 出 ,機 器 人 為 空 間 6 自由度旋 轉 關 節 型機 
器人 。  

圖 3 關節 間隙矢量坐標系 

關節間隙滿足約束條件: + ≤1 ;       , +   Y ≤1 ; ,因此在坐標系P p  中, o 0p x Y0 矢量  的約束 2  
條 件 又 可 以表 示 為 。 +y   (   ≤1 。很 顯然 ,該  約 束 條 件 為 間隙 圓 的面 積 ,它 們 決 定 了 P 點 的位  置 。 為 矢量  的端 點 ,   。 同時又 是矢 量  的起 始 點 ,  
位 于 兩個 間 隙圓 的重疊 區 。重疊 區面積 為 


圖 4 R D4 1   HJ — 機器 人關 節示 意圖 

2a.c    , 。 c

:  一 蘭  ±: ±:5 ± :  二:  :  ( 1  
2   2  

31 關 節 間隙建模  .
如 圖 5所 示 ,空 間分 布 的關節 間 隙矢量 。 、 、    
3、  
l、  

結 合 式 () () 由機 器 人 各 關 節 間 隙變 量 的  3和 4, 獨立 性 ,有  廠’ Y,  , ( l  ,  一. Y—Y) 1=f(l 1 x  , 1 x, ) 一. Y—Y) Y f(   用 f(,) 示 二 連 桿 機 器 人 末 端 點 PxY 的  xY 表 (,) 概 率密 度 函數 ,結 合式 () 5,得 到  2和()
) :



和 6 分布 在兩 組相 互垂 直 的平行平 面 上 。  

和 6 在一 組平面 上 , 2 3   、 和 5 另一 組平    在
1p p  . l  . 6 ( 2 3  ) +8- )   - + 5 4 + 81 I - -

面 上 。從 圖 5可 以看 出 

故可 以通 過分 成兩 組平 面三 連桿 機 器人進 行 關  節 間隙分 析 ,然 后 進行 空 間合成 ,得到 關節 間 隙對 

,  

I2xx +≤(  ̄elI   4) :-Ya K8)· 1,y ld  ( , 6  
J   0   其 他 

空間機器人末端位置精度影響分布函數 ,從而建立  關節 間隙與 多 自由度 空 間機器 人 末端位 置 精度 之 間 
的關系 。采 用分 組分 析 方法建 立 的關 節 間隙矢 量 坐  標 系如 圖 6所 示 。  

式中 l  1 ( + 一 . 4 (, ) √   0) - xY =   5    

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20 0 3年 4月  

宋 月娥等 :機器人 關節 間隙誤差分析 

l  3

廠 ,z f  ),f(  z () ( ,== 。 Y  ̄  , x ) = ( 12 — ) 1  Y l x )) 一   2
mi 、 Ⅱ   一

由式 (O結 合 圖 6 1) ,可 以得 到 

i ma(4 一 , 一4 一    n = x一 9   Y 9 z)


= i 4 一  4 一  "   mn 9 x ,9 z - ( I -  )

32 機 器 人末端 點位 置 分布 函數  . 假 定 關節 間 隙引起 的 空 間機 器 人末 端 點誤差 分  布 為球 域分 布 ,則 分布 函數  定義如 下 
圖 5 R J4 1   H D - 機器人關節間隙示意圖 

J 』 J  
式中

, ,zx d ()   y)dz 1  ,dy  3

0≤t≤N  

t — 球 域的 半徑( — 比例 誤差 )  
Ⅳ—— 機 器人 關節 數 目  

在 分析 過程 中,將關 節 間 隙設定 為一 個單 位 ,   即 比例 關節 間隙值 為 1 ,因此有 下列 關系 式 
I1 " 

二 =  C  圖6   硼D 一 l 4 機器人關節 間隙坐標系 

(4  1) 、  

z 昂坐標 系原點建立在第一組矢量的起始 
點  點 , 且  。 8 、 4和 8 6位 于  平面上 ;  

式 中 c —一 _ - 關節實際間隙  r 比例關 節 間隙 


關 節 間隙 引起 的機 器 人 末端 位 置 重 復 
精度 

z  坐 標 系 原 點 建 立 在 第 二 組 矢 量 的起 始 點 

卜一 比例 位 置精度 值  下表 列 出了 R D4 1機器 人 關節 間隙誤 差分  HJ — 布值 。假 定其 關節 間 隙矢量 為正 態分 布 ,機器 人 末 
端 點誤 差分布 為球 域分 布 。  

比例誤 差 
O1 O .5  

毛 點,且  、 和 8位于 馬 馬 2  3 5 z 平面上。 點作為    第一組矢量的末端 點,在坐標系 
在 坐 標 系  標系 

z 昂中的坐標 

用 (   , ) 示 ; P 點作 為第 二組 矢量 的 末端 點 ,  , O 表  

中 的坐標 用 (,2z) 示 ,在坐  OY ,2表 中的坐標 表 示為 (,,)   Yz 。 ●  

R ID4 1 t, - 機器 人關 節間隙誤差分布  I
概率 分布 
0 o l4 .o    0.1   0 09 0.3     0 56 00 86 .7  
01 75 .3   

比例 誤 差 
25 0 .5   27 0 .0   28 0 .5   30 0 .0  
3.5   10

概 率分 布 
08 96 . 1    08 2l . 5    08 23 . 8    0 91     . 04
0.2    9 2l

由于關節 間隙矢 量滿 足 

03 0 .0   0.5   40 O6 o .o  
07 0 .5  

l+4 l 3     +6   l ≤ I +3 I 3     +5   2 ≤
即 

O D  .O g
10 0 .5  

O277 .   O  
02 42 .8    O_6   3 26 0-3   4 84 05 76 .0     05 85 .6     06    .2l2 06 75 .6     0 7 94 .0   0 7 84 . 4    0 7 50 . 8   

33 0 .   0
34 0 .5   36 O .O   3g o .0   42 o .o   45 0 .0   4.0   80 5.0   10 54 O .O   57 0 .0   60 0 .0  

0 4   . 44 9
·0 9     .6l7 09 47 . 7    09 03 .9    O 9  9 .9   09 92 .9    0.9     9 98 09 9 9 .9     09 99 .9    09 99 .9    09 99 .9   

+ ≤9    

() 8 

12 o .o   l3 0 l5   15 0 .0   l6 0 _5  

Y+ ;   ; z≤9
又 由圖 6得 到 
x  t Y Yl Y2   +   Z Z    2

(  9 )

18 0 .0   1 5  . 0 9

式() 一步 表 示為  9進
( Y—Y) +Z ≤9 1       (0  1)

21 o .o   22 0 .5   24 0 .0  

所 以 ,機 器 人末 端點 的概 率密 度 函數可 以定義 
如下 

廠 (l l 2z)  1 ,1 ) 2z) ’x, , ,2= ) Y) ( ,2 YY (  2   
即 

因此 , 假定實 際關節 間隙 C分別為 00  l、 .   . mi 00 2 l 4 ni、00 i,則 根據 式 (4 ,很 容 易 得到 相 應 的  l n .6ml l 1)

f’ ,l ( Y,   Y—Y,)   1 Y) ̄( l = ) ,1 2Y-Y,) (1 z ( f) l z 1)  

關節 間隙導致 的機器人 末端 位置重復精度分布 曲   線 ,如 圖 7所示 。  
從 圖 7可 以看 出,機器 人 關節 間 隙對機 器人 末  端誤 差 的影 響并 不 是 確 定 的 。 以關 節 間 隙 為 0 6 .  0

因此,機器人末端點的密度 函數 f xYz可 以 (,,)  
表 示 為 

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1  4











報 

第 3 第 4期  9卷

mi 情 況為 例 , 器人末 端 誤差 隨機 分布 , / 1 機 出現 00  . 7
mi 的誤 差 幾率 為 3 %, 出現 01   i 的誤差 幾率  / 1 6 .0m / 1 為 5 %, 出現 01 i 7 .6m / 1的誤 差 幾率 為 8 %等 。因  5

械工程學報, 9 4 3 (0:l7 7   19 , 01) 6 ~15 2 崔道 碧.關節 間隙對 機器人末 端位姿 誤差 的影 響.湖南 
大 學學 報 ,9 9 2 () 2 6 19 , 62 :3  ̄3  

此 ,在 實 際的機 器 人末 端位 姿測 量過 程 中 ,應 該 考 
慮 這種 由關節 間 隙 引起 的誤 差 的 隨機 性 。另外 ,對  于機 器人 機構 設 計來 講 ,關節 間 隙與 機器 人末 端重 

3 曹志奎 ,馬培 蓀,盧 長利 .蛇形柔 體機器 人 的創新特 點  及 關節 間隙對 位姿 誤差 的影 響 .傳動 技術 ,19 () 9 9 4:  
2 ~3  9 3 4 Zh     ,T n   L.Un e ti t   n l ss o   ln r a d   u JM i g K  c ra n y a a y i f p a a     n  

復精 度 的關 系可 以提 供一 個 約束 。比如 ,如果 機器  人 性 能 要 求重 復 精 度 小 于 01 .mm,那 么各 關 節 間   
隙必 須小 于 0O 7rm。 .1     a

sa  ̄ rbt wi   on cerne. Meh i nd p i oo s t j i laa cs h t ca s n m a  
Mahn hoy 2 0 , 59: l 3 ~ 1 5  cieT e r, 00 3 ()   9   6 2 2

5 高 惠璇 . 統計計算.北京:北京大學 出版社, 9 5 19  
甚   甚  

ERR0 R  ALYSi   AN S OF  R0 BoT 


制 
賤 

J NT  oI CLE  ANCE  AR 

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.  < 臻  罨 

s n   u e Wu L n Da M ig o gYe    i  i n  

( riIstto eh ooy  Habn ntue fTcnlg)   i  
誤 差分布F/   % 

Abta t T ee et o   ejitc aac  ai l  ote s c: h  f c   ft   n  l n evra e t    r s h o e r bs h
p s o   e etbl   ft e rb te d e e tr ae a ay e   o i n rp aa ii o     o o  n   f co    lz d i t y t h r n

圖 7 機器人關 節間隙與機器人末端誤 差分布 

uig a t odmes n lv tr me o    e n  ejit s    w -i ni a  e o  t d t d f e t  on  n o c h o i h

4 結論 
詳細 而深 入 地討 論 了機器 人關 節 間隙對 機器 人  末 端 精度 的影 響情 況— — 關節 間 隙的 隨機 性 決定 了  機器 人末 端 誤差 的 隨機性 ,為進一 步 提高機 器 人精 
度和 機 器人 性能 分析 提供 了理 論依 據 。另外 ,定性  地 分析 了 I J 4 l 器 人關節 間隙誤 差對機 器人    I一 機 )

ce a c  a ibe.Ac o dn     ete r   f rb bl , e lan ev ra ls r c r ig t t   o o p o a ii t   oh h y y t h po a it d n i  fn t n f he o o e d fe tr s r b bl i y e st u c o  o  t  r b t n  e c  i y i o  
d v l p d b s d o   e a s mp o   ft e d srb t n o   e e e o e   a e   n t   u t n o     it u i   f t   h s i h i o h

jit l rn e a d mns. n te  rr ir uinfn t n o ce ac  n o esA d ne o ds i t u c o   n a r h r tb o i o te o o n  f c r s eie . e on  ern eerr f f   b t de et i dr d T jit laac r o  h r e o   v h c o
RHJ ) - 1 6 DOF a c wed n   o o  sa ay e   y me n   f I4一       r   l i g r b ti  l z b   a s o   n d

time o .1  f c o te o t l rn e te netit  hs t d 11 a et f ji   e ac t h u cr n h e s h n ca o a y
o   e r b t   o  ̄ o   e e tbl  ae ul e .A d he f t   o o c p s in r aa it r  o ti d n  t   h i p i y n

末 端位 置重 復精 度 的影 響 ,認 為在 實際 的機器 人末  端位姿 測 量過 程 中 ,應 該考 慮 這種 由關節 間隙 引起  的誤 差 的隨機 性 。該方 法 同樣 適用 于其 他結 構類 型 
的機 器人 關節 間 隙分 析 。  

rs ann ea o   e e  ejitc a c  d p s o   et iig rlt n b t n t  on  lr e a   oi n r i we h ea n n i t
r e tbl  o   o t s ie , whc  st a he rt a  p e aa it i y f r b  i gv n o ih e s  t o ei l c
f u d t n f r er b t e i n n   dp e ii n a a y i g  o n a i  o    o o   s g i ga   r c so  n l z . o h t d n n







獻 

Ke   r s Ro t J  ce rn e Re e tb l   ywo d : o b   0 laa c  p aa it i y
作者 簡 介 :宋 月娥 , 女 ,17 年 出生 ,博 士 生 。主要 研 究方 向 為機器  93

1 周 學才,張啟先 .機器 人位姿 誤差 的顯著性 分析法 .機   

人 離線 編程技 術 和機器 人 學 。  


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