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二第二換元法(變量代換法)

二.第二換元法(變量代換法)
第一換元法是用湊微分的辦法,把一個比較復雜的 積分 x )] )dx 化成 x)]d x ) 再積分,第二換元法則 f[ ( ( x f[ ( ( 是將積分 x )dx (看似簡單, f( 但是很難積分)用一個適當 的變量代換 x (t ) 使 x )dx t )] )dt 卻容易積分。 f( f [ ( (t 再將 結果中的 t 變回 (t ( x )) x . 1 例 3.20 解 求



sin x dx . x

令 x , x 2 , dx 2tdt ,則 t t



sin x sin t dx tdt tdt cos t 2 cos x . 2 2 sin 2 c c t x

例 3.21 計算

x

1
2

2 a

dx ,( a ). 0

解 令 x sec t , 0 . a t 2 1 1 dx ( ad ) 2 sin t )dt a ( cos t cos t 1 a sin t ∴原式 tan t 2 t dt a cos 1 dt | sec t t | 1 ln tan c cos t
ln | x x2 2 a | 1 | x x 2 2 | . c ln a c a a

1 類似可算出 2 dx ,( a ). 0 x 2 a

令 x a tan t , dx sec 2 tdt a 原式 cos t 1 sec 2 tdt a c t dt ln | sec t tan t | 1 a cos

ln |

x2 2 x a | 1 ln x x 2 a2 ln x x 2 2 . c c a c a a





206

(為何不要絕對值?) 1 例 3.22 求 dx. 3 2 2 2 (a ) x
x 解 令 x tan t , dx a sec 2 tdt, tan t a a 2 1 a sec t 1 sec 2 t dx 2 3 dt 2 2 3 dx 2 3 a sec t 2 2 2 (a ) x [a (1 tan t )] 1 1 a 2 tdt 2 sin t . ctgt . cos c a a x

csc t

a2 2 x 1 x dx . c 3 2 x 2 2 2 a a2 2 x (a ) x

例 2.23 求

x

dx
2

x

.

1 d(x ) 2 解 2 (利用例 3.20 的結果) 1 2 1 x x (x ) 2 4
dx 1 1 1 1 ( x ) ( x ) 2 ( x ) x 2 x . ln c ln c 2 2 4 2

例 3.24 計算



x2 9 x2

dx.

x sec t 3 x2 9 3 tan t sin t dx 2 3 dt x2 9 sec t (cos t ) 2

sin 2 t 1 2 t cos 1 dt dt dt cos t dt sec t t t ln tan sin c cos t cos t cos t
畫三角形

x x2 9 x2 9 x2 9 2 ln 1 ln x x c 9 . c 3 3 x x

例 3.25 求 解∵

a

2

x 2 dx , a ) . ( 0 ∴可令

x a 2 x 2 a 1 ) 2 ( a

207

x t .則 x sin t , dx cos tdt sin a a a

( ) . 于是 t 2 2

a

2

2 dx a cos t tdt x a cos

1 2t cos a 2 2 tdt 2 cos a dt 2
a2 1 a2 (t sin 2t ) (t t t ) c sin cos c 2 2 2

a2 x x a2 2 x a2 x 1 (arcsin ) arcsin x a2 x 2 . c c 2 a 2 2 a a a
1 d(x ) 1 dx 1 3 例 3.26 2 dx 2 2 1 3 9x x 6 1 1 2 3 x x (x )2 ( )2 3 9 3 3
例 3. 21

1 1 1 2 1 ln | ( x ) ( x ) 2 ) 2 | ln | 3x 9 x 2 x | . ( c 1 6 1 c 3 3 3 3 3

*例 3.27

1 求 dx . 1 x e

1 解 令 1 x ( t 0) , x t 2 ) , dx 2 e t 1 ln( 1 tdt , 2 t 1 ∴ 原式

1 22 dt t 1 (t ) t ) 1 ( 1 1 1 2 dt dt 1 dt t 1 t 1 t

1 1 d ( t ) 1 d (t ) ln 1 t 1 t 1
*例 3.28
1 x ln 求 dx . x ln x
2

t 1 1 x e 1 c ln . c t 1 1 x e 1

解 令 1 x , x t ln t e

1

, dx 2tet

2

1

dt

x ln x

1 x ln
t

dx
t2 1

t2 2 2 e 1 (t ) t e 1

1 dt dt 2 (1 1 )dt t | t | 2 2 2 ln c t2 t 1 1 t 1

t

2

208

例 3.29



1 x

x (1 x ) xe

dx



1 xex , 則dt 1 x)e x dx, t (
1 x (1 x)e x dx dt dx x (1 xe x ) x xe (1 xe x ) (t ) t 1



1 1 t 1 xe x )dt ( ln ln c c t t 1 t 1 xe x

例 3.30


xdx

xdx

( x2 ) 1 2 1 x

令 x sin t, 則 dx cos tdt

(x

sin t cos tdt sin t sin 2 t ) cos t sin 2 t dt 2 (1 1 ) 1 2 1 x

d cos t 1 1 1 ( ) d cos t 2 2t cos 2 2 2 t cos 2 t cos 2 [ln( 2 t ) cos ln( 2 t )] cos c 4 2 2 1 2 x ln c 2 4 2 1 x
x2 9 例 3.31 計算 2 dx. x
3 x2 9 x sect 3 tan t sint sin2 t 1 2 t cos 1 dx 2 3 dt dt x2 2 t cost dt t dt cost dt 9sec t (cost) cos cos 畫三角形 x x2 9 x2 9 x2 9 2 sect t t ln ln tan sin c 1 x x c ln 9 . c 3 3 x x

例 3.32



1

x (x ) 1

dx



x , 則 x 2 , dx tdt t t 2
209

x ( x ) dx t t( 1
例 3.33
當x , 令 0

1

2

2t 1 dt 2 dt arc tgt arc tg x . 2 2 c 2 c ) 1 1 t
dx


1

1

x( x ) 1

x , 則 x 2 , x 2 , dx tdt. t t 1 1 t 2

2t 2 dx dt dt x ( x ) 2 2 1 t (1 t ) (1 ) t 2 ln t 1 2 c 2 ln t x 1 x c.

當x 1, 令

, 則 x t 2 , x t

x 2 , dx 2tdt. 1 1 t




1

x( x ) 1

dx 2 ln x 1 x c

§5.4 分部積分法

[u( x) ( x)] u ) ( x) ( x) ) v (x v u v (x

∴ u ( x) ( x ) u( x ) ( x )] v ( x) ) . v [ v u (x 兩邊積分
u( v ( x v dx v ( u (x u x ) )dx ( x) ( x ) x) ) dx

d[u (x ) ( x )] v dx v( x ) ) dx . 即 x) dv( x ) u ( x) ( x ) x ) du (x ) u( v v( u (x dx 此積分公式叫分部積分公式. 例 4.1

x cos xd sin x dx sin x x sin x x dx x sin x cos x c ,
其中 例 4.2 解
u ( x) x , v( x ) x . sin



x ln xdx .

u

x ln ln xdx x d (

x2 x2 x2 x2 1 2 1 ) x) (ln d (ln x) ln x dx x 2 2 2 2 2 x

v

210

x2 1 2 x2 1 ln x x (ln x ) . c c 2 4 2 2 例 4.3 x x 2 x 2 ( x2 3 ( x2 ex 3 2 x 2)e dx 3x 2) d e (x 3x 2)e d ( x x )

u


v

(x 2 x ) e x x ) e x dx (x 2 x ) e x . 3 2 (2 3 5 7 c


*例 4.4

arctan x arctan xd dx x x (arctanx )
u
v

1 1 1 2 2 x arctan x 2 d (1 ) x x arctan x ln(1 ) . x c 2 1 x 2 *例 4.5
e e sin xdx e d cos x
x x x

cos x cos xde cos x e d (sin x ) e
x x x

x cos x x sin x e x sin xdx ∴ 2 sin xdx e x sin x x cos x . e e ex e



e sin xdx 2 e
x

1

x

(sin x x) . cos c

例 4.6 試求積分



sin ( ln x ) dx

.

1 dx x x sin(ln x ) cos(ln x ) dx x[sin(ln x ) cos(ln x )] I 原式 I x sin(ln x ) cos ( ln x ) x x I [sin(ln x ) cos(ln x )] c 2

例 4.7 求 x (tan x ) 2 dx . e2 1
2 解 原式 e 2 x (tan 2 x tan x )dx e 2 x sec 2 xdx x tan xdx 2 1 2 e

e d tan x tan xdx tan x tan xde tan xdx 2 e e 2 e
2x 2x 2x 2x 2x

2 x tan x x tan xdx x tan xdx 2 x tan x . e 2 e2 2 e2 e c

1 1 dx xd ( ) 2 dx ln x x 1 1 1 1 1 ln x dx 2 dx ln x . c x x x x x ln sin x *例 4.9 cot ln cot 2 x dx ln sin x (d cot x ) x sin x xd (ln sin x) sin

*例 4.8

x

ln x 1
2

211

cot x cos x cot x sin x ln cot ln x cos xdx x sin x 2 x dx sin sin

2

1 2 x sin cot x sin x ln cot ln cot c 2 x dx x sin x x x . sin
1 arctgx (1 ) arc tgx dx arctgxdx dx 1 2 x 1 2 x 1 x arctgx xdarctgx 2



例 4.10.


x2 1 x

2

arc tgxdx xarctgx


x


d ( arctgx) 2

1 dx ( arctgx) 2 2 1 2 x

1 1 xarctgx (arctgx) 2 ln(1 2 ) . x c 2 2

例 4.11.


x

arc ctg e ex

x
dx

1 arc ctg e x arx tg t 令e , 則dx dt , 原式 x t dx 2 dt t e t 1 arc tg t 1 arc tg td 1 t 2 ) dt t t t( arc tg t 1 t arc tg t 1 [ ]dt t ln(1 2 ) ln t c (1 t 2 ) t t t 2 arc tg e x 1 ln(1 2 x ) x e c x e 2

例 4.12.

1 x ln ln x )2 dx (x

x 1 x(1 x) ln x x ln 1 ln x (1 x)d x ln x (1 x)( x x) x)2 ln x dx 1 ln (1 x x(1 x) ln 1 x(1 x) ln 1 ln x d (1 ) x c . c (1 x)( x x) ln (1 x) 2 (1 x)(x x) 1 ln x x x ln
作業 P.238 2(1,4,6,8,15,16); 3(3,5,9); 4(3,7,9,11,15,19).

§5.5 簡單有理函數的積分法
例 5.1

) (x a

1

2

d (x ) a 1 dx a) 2 x a c . (x
212

例 5.2
( ln 1 c c x 2 dx 2 x )dx ln | x 2 | | x | ln | x | . x 3 x 1 1
2

1

1

1

x 2

3 ( 2x ) 4 5 3x 1 2 例 5.3 dx x 2 x dx x2 x 4 5 4 5 3 d ( x2 x ) 4 5 dx 3 dx 2 2 5 2 ln | x x | 4 5 5 2 2 x x 4 5 x x 2 4 5 x x 4 5
3 5 1 1 2 ln | x x | 4 5 ( )dx 2 6 x x 5 1 3 5 5 ln | ( x )( x ) | ln | x | ln | x | . 5 1 5 1 c 2 6 6 例 5.4

x3 x 1 1 1 2 (x x 2 dx x 2 ) dx 2 x arctan x c 1 1 例 5.5

3x x
3

x 5
2

x 5 dx dx 4 (x )(x ) 2 1 2

A B C 2 1 2 1 1 ( x ( x 2)2 )dx 3 dx 3 2 dx 2)2 dx x 1 2 x 1 x (x
2 2 1 2 x 2 1 ln | x | ln | x | 1 2 ln | c | . c 3 3 x 2 3 x 1 x 2 *例 5.6

1 dx x 4 dx 1 A Bx C 12 1 dx ( 2 )dx )(x 2 x 4) x x 3 2 x 4 dx 2 x 8 (x 2 2 x 2 2 4 x 12 x 2 1 1 d ( x2 x ) 1 2 4 dx ln | x | 2 2 2 12 24 x x 2 4 4 x x 2 4
1 1 1 dx ln | x | ln | x 2 x | 2 2 4 2 12 24 4 x x 2 4 1 1 1 d(x ) 1 ln | x | ln | x 2 x | 2 2 4 2 12 24 4 ( x ) 3 )2 1 (
1 1 1 d[( x ) / 3] 1 2 ln | x | ln | x x | 2 2 4 x 2 1 12 24 4 3[1 ( ) ] 3

213

1 1 1 x 1 ln | x | ln | x 2 x | 2 2 4 arctan c 12 24 4 3 3

*例 5.7
6x 5 d ( x2 x ) 4 19 1 dx 2 3 17 2 dx 2 4x x 19 x x 4 19 x x 4 19

d(x ) 2 d[( x ) / 15] 2 ln | x 2 x | 3 4 19 17 ln | x 2 x | 3 4 19 17 2 2 x 2 2 ( x ) 15 ) 2 ( 15[1 ( ) ] 15

ln | x 2 x | 3 4 19

17 x 2 arctan . c 15 15

例 5.8

x2 x 2 1 )( x 2 x ) dx (x 1 1

先利用部分分式 2 x 3 原式 dx x 2 x dx x 1 1

1 d ( x 2 ) 5 x 1 dx ln | x | 2 2 1 1 3 2 x x 1 2 (x )2 2 4
1 3 d [( x ) ] 1 5 2 2 ln | x | ln | x 2 | 2 1 x 1 1 2 2 x 3 2 ) 2] [1 ( 2 3 2 1 x 1 5 2 ln | x | ln | x 2 x | arctan 2 1 1 c 2 3 3 2 1 5 2x 1 ln | x | ln | x 2 | arctan 2 1 x 1 c 2 3 3

綜合題舉例
sin x 例 1. dx sin x x cos 解法一

214

x cos x dx sin

sin x

sin x x x cos cos dx sin x x cos

cos x dx x cos x dx(在分子上造一個分母的導數) sin d (sin x x ) cos sin x x sin x x dx x cos x dx. cos sin


x cos x dx 2 ( x sin x x sin cos

sin x

1

d (sin x x ) cos

1 dx ) ( x sin x x ) ln cos c 2

解法二

x x dx 2 sin cos

sin x

1

sin( x ) 4

sin x

dx

sin(t ) 1 cos 4 dt 1 sin t t dt sin t sin t 2 2 1 1 (t sin t ) 1 ( x sin x x ) ln c ln cos c 2 2
解法三




sin x dx sin x cos x

1 2 1 2


( 1 1 dctgx 1 ctgx 2 1

1 1 csc2 x 1 1 dx dx dctgx 1 ctgx 1 ctgx 1 2 x 1 ctgx 1 2x ctg ctg 1 1 ctgx )dctgx 1 ctgx 1 2 x ctg



2 1 x ctg

1 dctgx 2



ctgx

1 x ctg

2

dctgx

例2 求

cos 3 x x dx sin



sin x 1 2 u cos3 x cos2 x u u2 sin 2 x d x dx x sin x u du ln u 2 c ln sin x 2 c sin sin

例3 求



sin 2x

1 sin x

2

dx

.

解法一

sin 2 x 2 sin x cos x 2 sin xd sin x dx dx sin 2 x 1 1 2 x sin 1 2 x sin 1 d (1 2 x ) ln(1 2 x) . sin sin c 2 1 sin x
215

解法二




x

sin 2x

1 2 x sin

dx


2

sin2 x dx 1 2x cos 1 2

1 3 1 3 1 d ( cos 2x) ln( cos 2x) . c 3 1 2 2 2 2 cos 2x 2 2

例4 求

e (1 x
x

1 x
2

) dx



e (

1 2 x x 2 - 2x ex 2xe x x 1 ) dx e dx 2 dx x 2 ) 2 dx 1 x 2 (1 x 2 ) 2 1 x (1

de x 2 xe x ex 1 2 xe x x 2 e d x 2 )2 dx [1 x 2 (1 x 2 )] x 2 )2 dx 1 x (1 (1 ex . C 1 x 2
例5 求

(1 x x
2 2

arctgx
2

)

dx



(1 x x
2

arctgx

1 1 dx 2 ( ) arctgxdx ) x 1 x 2

arctgx arctgx 1 arctgxd (arctgx) x 2 dx x 2 dx arxtgxd ( x ) 1 arxtgx dx 1 arxtgx 1 x 1 2 2 [ ( 1 x 2 ) ] 2 (arctgx) x x 2 ) dx 2 (arctgx) x x 1 x( arxtgx 1 1 x ln 1 x 2 (arctgx) 2 ln c x 2 2

例6 求 解

max( 1, x

2

)dx.

, x ; 1 1 f ( x ) max(1, x 2 ) 2 ( , ). C x 1 , x .

設其原函數為 2 3 1 c x dx, x 1 x 1, x 1 3 F ( x ) , x 1 x 2, x c 1 dx 2 3 1 1 c 1 x dx, x . x 3, x . 3

216

( x) C ( , ), 在 x 處有 F 1 lim F ( x ) lim F ( x);
x 1 x 1 x 1

lim F ( x ) lim F (x ),
x 1

1 1 3 2 , 2 1 c 1 c 1 c c 3 3 2 2 2 2 即 c 3 c 2 , c1 c 2 , 取c 2 0得c 3 , c1 . 3 3 3 3 即



1 3 2 x 3 , 3 F (x ) x, 3 2 1 x , 3 3

x 1 x 1 x 1

1 x 3 2 , x 1 c 3 3 1, x 2 )dx ( x ) x , max( F c c x 1 3 2 1 c 1 x , x . 3 3

例7 求




1 dx sin( a x ) sin( b x )

.



1 1 sin[( x ) x )] a ( b dx dx sin(a x) sin(b x) sin(a ) sin( a x ) sin(b x) b

1 sin( x ) cos( x ) a b cos( x ) sin( x ) a b dx sin( a ) b sin( x ) sin(x ) a b 1 cos( x ) cos( x ) b a [ ]dx. sin( a ) b sin( x ) sin( x a ) b





例8



xdx

(x 2 ) 1 2 1 x

令 x sin t, 則 dx cos tdt

217

sint costdt sint 2 t) cost sin2 tdt 2 (1 sin 1 1 2 x d cost 1 1 1 ( )d cost 2 2t cos 2 2 2 t cos 2 t cos

) (x 1

xdx

1 d ( 2 t) d ( 2 t) cos cos [ 2 t ] 2 2 2 t cos cos 2 2 2 1 2 x [ln( 2 t) 2 t )] cos ln( cos c ln c 2 4 4 2 1 x

218


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